1.6.2 Обработка результатов наблюдений и оценивание погрешностей измерений

Оценку погрешности результата измерения выполняют при разработке МВИ. Источниками погрешностей являются модель ОИ, метод измерения, СИ, оператор, влияющие факторы условий измерений, алгоритм обработки результатов наблюдений. Как правило, погрешность результата измерения оценивается при доверительной вероятности Р = 0,95.

При выборе значения Р необходимо учитывать степень важности (ответственности) результата измерений. Например, если ошибка в измерении может привести к гибели людей или к тяжелым экологическим последствиям, значение Р должно быть увеличено.

1. Измерения с однократными наблюдениями. За результат измерения в этом случае принимают результат однократного наблюдения х (с введением поправки, если она имеется), используя предварительно полученные (например, при разработке МВИ) данные об источниках, составляющих погрешность.

Доверительные границы НСП результата измерения Θ(Р ) вычисляют по формуле

где k (P ) — коэффициент, определяемый принятой Р и числом m 1 составляющих НСП: Θ(Р ) — найденные нестатистическими методами границы j -й составляющей НСП (границы интервала, внутри которого находится эта составляющая, определяемые при отсутствии сведений о вероятности ее нахождения в этом интервале). При Р — 0,90 и Р = 0,95 k (P ) равен 0,95 и 1,1 соответственно при любом числе слагаемых m 1 . При Р=0,99 значения k (P ) следующие (табл. 3.3): Таблица 3.3

Если составляющие НСП распределены равномерно и заданы доверительными границами 0(Р), то доверительную границу НСП результата измерения вычисляют по формуле

Среднее квадратическое отклонение (СКО) результата измерения с однократным наблюдением вычисляют одним из следующих способов:

2. Измерения с многократными наблюдениями. Обработку результатов в этом случае рекомендуется начать с проверки на отсутствие промахов (грубых погрешностей). Промах — это результат хn отдельного наблюдения, входящего в ряд из п наблюдений, который для данных условий измерений резко отличается от остальных результатов этого ряда. Если оператор в ходе измерения обнаруживает такой результат и достоверно находит его причину, он вправе его отбросить и провести (при необходимости) дополнительное наблюдение взамен отброшенного.

При обработке уже имеющихся результатов наблюдений произвольно отбрасывать отдельные результаты нельзя, так как это может привести к фиктивному повышению точности результата измерения. Поэтому применяют следующую процедуру. Вычисляют среднее арифметическое х результатов наблюдений х i , по формуле

Затем вычисляют оценку СКО результата наблюдения как

предполагаемого промаха х n от х:

По числу всех наблюдений n (включая х n) и принятому для измерения значению Р (обычно 0,95) по или любому справочнику но теории вероятностей находят z(Р, n) — нормированное выборочное отклонение нормального распределения. Если V n < zS(x) , то наблюдение х n не является промахом; если V n > zS(x) , то х n промах, подлежащий исключению. После исключения х n повторяют процедуру определения х и S(x) для оставшегося ряда результатов наблюдений и проверки на промах наибольшего из оставшегося ряда отклонений от нового значениям (вычисленного исходя из n — 1 ).

За результат измерения принимают среднее арифметическое х [см. формулу (3.9)] результатов наблюдений xh Погрешность х содержит случайную и систематическую составляющие. Случайную составляющую, характеризуемую СКО результата измерения, оценивают по формуле

Принадлежность результатов наблюдений x i к нормальному распределению при n ≥ 20 легко проверить, применив правило Зσ: если отклонение от х не превышает Зσ, то случайная величина распределена нормально. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения при доверительной вероятности Р находят по формуле

где t — коэффициент Стьюдента.

Доверительные границы Θ(Р ) НСП результата измерения с многократными на-блюдениями определяют точно так же, как и при измерении с однократным на-блюдением — по формулам (3.3) или (3.4).

Суммирование систематической и случайной составляющих погрешности результата измерения при вычислении Δ(Р ) рекомендуется осуществлять с использованием критериев и формул (3.6-3.8), в которых при этом S(x) заменяется на S(Х) = S(X) /√n;

3. . Значение измеряемой величины А находят по результатам измерений аргументов alf ait ат, связанных с искомой величиной уравнением

Вид функции ƒ определяется при установлении модели ОИ.

Искомая величина А связана с т измеряемыми аргументами уравнением

Где b i — постоянные коэффициенты

Предполагается, что корреляция между погрешностями измерений a i отсутствует. Результат измерения А вычисляют по формуле

где а i — результат измерения а i с введенными поправками. Оценку СКО результата измерения S(A) вычисляют но формуле

где S(a i) - оценка СКО результата измерений a i .

Доверительные границы ∈(Р ) случайной погрешности А при нормальном распределении погрешностей a i

где t(P, n эф) — коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р (обычно 0,95, в исключительных случаях 0,99) и эффективному числу наблюдений n эф вычисляемому по формуле

где n i -число наблюдений при измерении a i .

Доверительные границы Θ(Р ) НСП результата такого измерения, сумму Θ(Р ) и ∈(Р ) для получения окончательного значения Δ(Р ) рекомендуется вычислять с использованием критериев и формул (3.3), (3.4), (3.6) — (3.8), в которых m i ,Θ i , и S(x) заменяются соответственно на m, b i Θ i , и s(A)
Косвенные измерения при нелинейной зависимости. При некоррелированных погрешностях измерений a i используется метод линеаризации путем разложения функции ƒ{a 1 ,…,a m) в ряд Тейлора, то есть

где Δa i = a i — a — отклонение отдельного результата наблюдения a i от a i ; R - остаточный член.

Метод линеаризации допустим, если приращение функции ƒ можно заменить ее полным дифференциалом. Остаточным членом пренебрегают, если

где S(a) — оценка СКО случайных погрешностей результата измерения a i . При этом отклонения Δa i (должны быть взяты из возможных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали R .
Результат измерения A вычисляют по формуле Â = ƒ(â …â m).

Оценку СКО случайной составляющей погрешности результата такого косвенного измерения s(Â) вычисляют по формуле

a ∈(P ) — по формуле (3.13). Значение n эф граница НСП Θ(P ) и погрешность Δ(P ) результата косвенного измерения при линейной зависимости вычисляют так же, как и при линейной зависимости, но с заменой коэффициентов b i на δƒ/δa i

Метод приведения (для косвенных измерений с нелинейной зависимостью) применяется при неизвестных распределениях погрешностей измерений а i и при корреляции между погрешностями а i для получения результата косвенного измерения и определения его погрешности. При этом предполагается наличие ряда n результатов наблюдений а ij . измеряемых аргументов a i . Сочетания а ij полученных в j эксперименте, подставляют в формулу (3.12) и вычисляют ряд значений A j измеряемой величины A . Результат измерения Â вычисляют по формуле

Оценку СКО s(Â) — случайной составляющей погнешности Â — вычисляют по формуле

а ∈ (Р ) -по формуле (3.11). Границы НСП Θ(Р ) и погрешность Δ(Р ) результата измерения Â определяют описанными выше способами для нелинейной зависимости.

1.1. Определение метрологии.

1.2. Определение измерения.

1.3. Виды средств измерений.

1.4. Виды и методы измерений.

1.5. Точность измерений.

1.6. Представление результатов измерений.

1.7. Правила округления.

1.8. Единство измерений.

1.9. Заключение по разделу.

2. Оценка погрешностей измерений по заданным метрологическим характеристикам средств измерений.

2.1. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений.

2.1.1. Назначение Н.М.Х.

2.1.2. Номенклатура Н.М.Х., принятых в настоящее время.

2.1.2.1. Н.М.Х., необходимые для определения результата измерения.

2.1.2.2. Н.М.Х., необходимые для определения погрешности измерения.

2.1.3. Тенденция развития комплексов Н.М.Х.

2.2. Оценки погрешностей прямых измерений с однократными наблюдениями.

2.2.1. Составляющие погрешности измерения.

2.2.2. Суммирование составляющих погрешности измерения.

2.2.3. Примеры оценки погрешности прямых измерений.

2.3. Оценка погрешностей косвенных измерений.

2.3.1. Составляющие погрешностей косвенных измерений.

2.3.2. Суммирование погрешностей.

2.3.3. Примеры оценки погрешностей прямых измерений.

2.4. Оценка погрешностей косвенных измерений.

2.4.1. Составляющие погрешностей косвенных измерений.

2.4.2. Суммирование погрешностей прямых измерений

2.4.3. Примеры оценки погрешности косвенных измерений.

3. Способы снижения погрешностей измерений.

3.1. Способы снижения влияния случайных погрешностей.

3.1.1. Многократные наблюдения при прямых измерениях.

3.1.2. Многократные наблюдения при косвенных измерениях.

3.1.3. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов, при совместных измерениях.

3.2. Способы снижения влияния систематических погрешностей.

4. Стандартизация.

Основы метрологии и стандартизация.

Тюрин Н.И. Введение в метрологию. - М.: Издательство стандартов, 1976.

1. Основные понятия метрологии.

Метрология ср.: биология, геология, метереология.

Логос - слово, отношение (логометр).

«Логия» - наука о...

Метрология метро? метро - метрополитен (франц.) - буквально: столичный (1863 - Лондон; 1868 - Нью - Йорк; 1900 - Париж; 1935 - Москва)

Метро полис - метрополий, главный город.

Метрдотель - метрдотель, главный, первый - соотношение, мера главенства.

Метр - мера длины, но: метрология гораздо старше метра; метр «родился» в 1790 г., метр - от греческого -мера .

Метрология - учение о мерах (старинный словарь).

«Русская метрология или таблица сравнения русских мер, весов и монет с французскими».

Линейные и погонные меры:

1 вершок=4.445см;

1 аршин=16вершков=28 дюймов - трубы

1 сажень=3 аршина;

1 верста=500 саженей

Меры вместимости:

1 бочка=40 вёдер;

1 ведро= 10 кружек (штофов);

1 кружка=10 чарок=2 бутыли=20 шкаликов=1.229 л

Меры веса:

1 пуд=40 фунтов=16.380 кг;

1 фунт=32 лота;

1 лот=3 золотника;

1 золотник=96 долей=4.266 г.

«Мал золотник, да дорог».

1 фунт медицинского веса=12 унций=96 драхам=288 =5760гранов=84 золотника.

Скрупулёзно: ни грана.

Монеты:

1 империал=10 рублей (золотом);

Серебро: рублёвик, полтинник, четвертак, двугривенник, гривенник, пятак.

Медь: трикопеечник, грош (2 коп.), 1 копейка=2 денежки=4 полушки.

Полюбил богатый - бедную,

Полюбил учёный - глупую,

Полюбил румяный - бледную,

Золотой - полушку медную...

М. Цветаева.

Речь идёт о понятиях, как меры длины, меры вместимости, меры веса...

Соответственно существует понятие длины; вместимости, или на современном языке - объёма; веса, или, как мы теперь знаем, лучше сказать массы, температуры и т. д.

Как все эти понятия объединить?

Теперь мы говорим, что всё это - физические величины.

Как определить, что же такое физическая величина? Как дают определения в такой точной науке, как, например, математика? Например, в геометрии. Что такое равнобедренный треугольник? Нужно в иерархической лестнице понятий найти вышестоящее, какое же понятие стоит над понятием физическая величина? Вышестоящим понятием является свойство объекта.

Длина, цвет, запах, вкус, масса - это разные свойства объекта, но не все они - физические величины. Длина, масса - физические величины, а цвет, запах - нет. Почему? В чём разница этих свойств?

Длина, масса - это то, что мы умеем измерять. Можно измерять длину стола и выяснить, что она составляет столько-то метров. Но нельзя измерить запах, т.к. для него ещё не установлены единицы измерения. Однако запахи можно сравнивать: этот цветок пахнет сильнее, чем этот, т.е. к запаху применимо понятие больше - меньше .

Сравнение свойств объектов по типу больше - меньше - это некая более примитивная процедура по сравнению с измерением чего-нибудь. Но это тоже способ познания. Существует альтернативное представление, когда все параметры и отношения предметов и явлений обозначают как три класса физических величин.

К первому классу физических величин относят :

величины, на количестве размеров которых, твёрже, мягче, холоднее и т.п. Твёрдость (способность оказывать сопротивление проникновению), температура как степень нагретости тела, сила землетрясения.

Второй вид: отношения порядка и эквивалентностине только между размерами величин, но и между разностями в парах их размеров. Время, потенциал, энергия, температура, связанная со шкалой термометра.

Третий вид: аддитивные физические величины.

Аддитивными физическими величинами называются величины, на множестве размеров которых определены не только отношения порядка и эквивалентности, но и операции сложения и вычитания.

Операция считается определённой , если её результат тоже является размером той же физической величины и существует способ её технической реализации. Например: длина, масса, термодинамическая температура, сила тока, ЭДС, электрическое сопротивление.

Как воспринимает мир ребёнок? Сначала он, конечно, измерить ничего не умеет. На первом этапе у него формируются понятия больше - меньше. Затем наступает этап, ближе стоящий к измерению - это счёт предметов, событий и т.п. Здесь уже есть нечто общее с измерением. Что же? То, что результатом счёта и измерения является число. Не соотношения типа больше - меньше, а число. Чем же отличаются эти числа, т.е. число как результат счёта и число, как результат измерения?

Результат измерения - именованное число, например 215м. Само число 2.15 выражает сколько единиц измерения длины содержится в данной длине стола или другого предмета. А результат счёта 38 штук - чего-нибудь. Счёт - это счёт, а измерение - это измерение.

Так идёт процесс развития познания мира у ребёнка, так же или примерно так шло развитие первобытного человека, т.е. на первом этапе сравнения вещей по типу больше - меньше, потом - счёт.

Потом наступает следующий этап, когда хочется выразить в виде числа что-то такое, что не поддаётся штучному счёту - объём жидкости, площадь участка земли и т.д., т.е. нечто непрерывное, а не дискретное.

Итак, измеряют различные физические величины, причём физическая величина - это свойство объекта, в качественном отношении общее для многих объектов, а в количественном отношении индивидуальное для каждого данного объекта.

Много ли существует физических величин? С развитием человеческого общества их перечень постоянно увеличивается. Вначале были только длина, площадь, объём, пространственные величины и время, потом добавились механические - масса, сила, давление и др., тепловые - температура и др. В прошлом веке добавились электрические и магнитные величины - сила тока, напряжение, сопротивление и др. В настоящее время насчитывается более 100 физических величин. Для краткости, в дальнейшем, слово «физические»можно опускать и говорить просто величина. .

Понятие величина содержит в себекачественный признак, т.е. что это за величина, например длина, иколичественный признак, например, длина стала 2.15м. Но ту же длину того же стола можно выразить в других единицах, например, в дюймах и получится другое число. Однако ясно, что количественное содержание понятия «длина данного стола» остаётся при этом неизменным.

В связи с этим вводится понятие размер величины и понятиезначение величины. Размер не зависит от того, в каких единицах выражена величина, т.е. онинвариантен по отношению к выбору единицы.

Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

К основным направлениям метрологии относятся:

Общая теория измерений;

Единицы физических величин и их системы;

Методы и средства измерений;

Методы определения точности измерений;

Основы обеспечения единства измерений и единообразия средств измерений;

Эталоны и образцовые средства измерений;

Методы передачи размеров единиц от эталонов и образцовых средств измерений рабочим средствам измерений.

Главным предметом метрологии является извлечение количественной информации о свойствах объектов и процессов с заданной точностью и достоверностью.

Средство измерения (СИ) – это совокупность средств измерений и метрологических стандартов, обеспечивающих их рациональное использование.

Структура метрологического обеспечения измерений.

Научная метрология, являясь базой измерительной техники, занимается изучением проблем измерения в целом и образующих измерение элементов: средств измерений (СИ), физические величины (ФВ) и их единицы, методы измерения, результаты, погрешности и т.д.

Нормативно-техническими основами метрологического обеспечения является комплекс гос. стандартов.

Организационной основой метрологич. обеспечения нашего государства является метрологич. служба РФ.

Гос. система обеспечения единства измерений устанавливает единую номенклатуру стандартных взаимоувязанных правил и положений, требований и норм, относящихся к организации, методике оценивания и обеспечения точности измерений.

2. Физические свойства и величины.

Физическая величина (ФВ) – свойство, общее в качественном отношении для множества объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.

ФВ делят на измеряемые и оцениваемые .

Измеряемые ФВ можно выразить количественно определенным числом установленных единиц измерения.

Для оцениваемых ФВ по каким-либо причинам нельзя ввести единицу измерения, их можно лишь оценить.

По степени условной независимости от каких-либо величин различают основные, производные и дополнительные ФВ.

По размерности делятся на размерные и безразмерные.

ФВ бывают истинные , действительные , измеренные .

Истинное значение ФВ – значение, которое идеальным образом отображало бы в качественном и количественном отношении соответствующие свойства объекта.

Действительное значение ФВ – значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для определенной цели может быть использовано вместо него.

Измеренное значение ФВ – значение величины, отсчитанной по индикаторному устройству средства измерения.

Условие измерения – это совок-ть влияющих величин, описывающих состояние окружающей среды и средств измерения. 3 вида: нормальные, рабочие, предельные.

3. Международная система единиц.

Совок-ть основных и производных единиц ФВ, образованная в соответствии с принятыми принципами, называется системой единиц ФВ.

Основные характеристики системы СИ:

1) универсальность;

2) унификация всех областей и видов измерений;

3) возможность воспроизведения единиц с высокой точностью в соответствии с их определением с наименьшей погрешностью.

Основные единицы системы СИ.

1. длина (метр)

2. масса (кг)

3. время (сек)

4. сила электрического тока (ампер)

5. температура (Кельвин)

6. количество вещества (моль)

7. сила света (кондела)

2 дополнительные: плоский угол (радиан)

телесный угол (стерадиан)

Производные ФВ могут быть когерентными и некогерентными.

Когерентной наз-ют производную единицу величины, связанную с другими единицами системы уравнением, в котором числовой множитель равен 1. Все остальные производные единицы наз-ся некогерентными .

Единицы ФВ бывают кратные и дольные.

Метод «максимума-минимума» основан на предположении, что при сборке механизма возможно сочетание увеличивающих звеньев, изготовленных по наибольшим предельным размерам, с уменьшающими звеньями, изготовленными по наименьшим предельным размерам, или наоборот.

Этот метод расчета обеспечивает полную взаимозаменяемость в процессе сборки и эксплуатации изделий. Однако допуски составляющих размеров, вычисленные по этому методу, особенно для размерных цепей, содержащих много звеньев, могут получиться в техническом и экономическом отношениях неоправданно малыми, поэтому данный метод применяют для проектирования размерных цепей, имеющих малое число составляющих звеньев невысокой точности.

Первая задача

Номинальный размер замыкающего звена можно определить по формуле (см. пример первой задачи) .

Если принять общее количество звеньев цепи n , то количество составляющих будет n – 1 . Примем: m – количество увеличивающих звеньев, р – количество уменьшающих, тогда

n – 1 = m + p.

В общем виде формула для расчета номинального размера замыкающего звена будет такой:

(8.1)

Для примера (см. раздел 8.1)

А0 = А 2 – А1 = 64 – 28 = 36 мм.

На основании равенства (8.1) получим:

; (8.2)

. (8.3)

Вычтем почленно из равенства (8.2) равенство (8.3), получим:

.

Так как сумма увеличивающих и уменьшающих звеньев есть все составляющие звенья цепи, то полученное равенство можно упростить:

. (8.4)

Таким образом, допуск замыкающего звена равен сумме допусков всех составляющих звеньев в цепи.

Чтобы вывести формулы для расчета предельных отклонений замыкающего звена, вычтем почленно из равенства (8.2) равенство (8.1) и из равенства (8.3) равенство (8.1), получим:

; (8.5)

. (8.6)

Таким образом, верхнее отклонение замыкающего размера равно разности сумм верхних отклонений увеличивающих и нижних отклонений уменьшающих размеров; нижнее отклонение замыкающего размера равно разности сумм нижних отклонений увеличивающих и верхних отклонений уменьшающих размеров.

Для примера первой задачи (см. раздел 8.1) получим:

= 0,04 + 0,08 = 0,12 мм;

Таким образом,

Определим допуск замыкающего звена через полученные предельные отклонения:

Это значение совпадает с ранее найденным значением допуска, что подтверждает правильность решения задачи.

Вторая задача

При решении второй задачи допуски составляющих размеров определяют по заданному допуску замыкающего размера TA0 одним из следующих способов: равных допусков или допусков одного квалитета.

1. При решении способом равных допусков – на составляющие размеры назначают примерно равные допуски, руководствуясь средним допуском.

Итак, предполагаем, что

тогда сумма допусков всех составляющих размеров равна произведению числа составляющих звеньев на средний допуск, т.е.:

.

Подставим это выражение в равенство (8.4): , отсюда

. (8.7)

По найденному значению Tcp Ai устанавливают допуски на составляющие размеры, учитывая величину и ответственность каждого размера.

При этом должны быть выполнены следующие условия: принятые допуски должны соответствовать стандартным допускам, сумма допусков составляющих размеров должна равняться допуску замыкающего размера, т.е. должно выполняться равенство (8.4). Если при стандартных допусках равенство (8.4) не может быть обеспечено, то на один составляющий размер устанавливают нестандартный допуск, определяя его значение по формуле

. (8.8)

Способ равных допусков прост и дает хорошие результаты, если номинальные размеры составляющих звеньев размерной цепи находятся в одном интервале.

Решим пример второй задачи (см. раздел 8.1) способом равных допусков (8.7):

мм.

А1 = 215; TA1 = 0,04;

A2 = 60; TA2 = 0,04;

A3 = 155; TA3 = 0,04.

В этом примере равенство (8.4) соблюдается, и корректировать допуск одного из составляющих размеров нет необходимости.

Распишем равенство (8.5) для данного примера:

0,12 = 0,06 – (-0,03 – 0,03).

(Числовые значения предельных отклонений составляющих размеров выбраны условно.)

TA1 = 0,04, значит, Ei(A1) = +0,02;

Ei(A2) = -0,03; TA2 = 0,04, значит, Es(A2) = +0,01;

Ei(A3) = -0,03; TA3 = 0,04, значит, Es(A3) = +0,01.

Проверим соблюдение равенства (8.6):

0 = 0,02 – (0,01 +0,01);

Таким образом, получим ответ:

; ; .

2. Более универсальным и упрощающим подбор допусков при любом разнообразии размеров составляющих звеньев является способ допусков одного квалитета .

При этом способе на размеры всех составляющих звеньев (кроме корректирующего Aj ) назначают допуски из одного квалитета с учетом номинальных размеров звеньев.

Для вывода формулы исходной зависимостью служит равенство (8.4):

.

Однако допуск любого размера можно вычислить по формуле

где а – число единиц допуска, постоянное в пределах одного квалитета (табл. 8.1); - единица допуска зависит от номинального размера составляющего звена (табл. 8.2).

Таблица 8.1

Число единиц допуска

Квалитет		Квалитет		Квалитет		Квалитет

Значение единиц допуска

Интервалы размеров, мм	i , мкм	Интервалы размеров, мм	i , мкм
	1,86.; Выводы Так как допуск замыкающего звена зависит от числа составляющих размеров, то основное правило проектирования размерных цепей можно сформулировать так: при конструировании деталей, узлов сборочных единиц и механизмов необходимо стремиться к тому, чтобы число размеров, образующих размерную цепь, было минимальным. Это принцип кратчайшей размерной цепи. На чертежах указывают только составляющие размеры с предписанными отклонениями. Замыкающие размеры обычно получаются автоматически в результате обработки деталей или сборки, поэтому их не контролируют и на чертежах не обозначают. Проставлять на чертежах размеры замкнутыми цепочками не рекомендуется. Особенно недопустимо проставлять замыкающие размеры с отклонениями, так как при изготовлении детали это вызывает брак. В качестве замыкающих размеров следует принимать наименее ответственные размеры, которые могут иметь большие отклонения.

Формулой размерности называется математическое выражение, показывающее, во сколько раз изменится производная единица при определенных изменениях основных единиц. Для ознакомления с построением формул размерности полезно вначале рассмотреть случай, когда различные системы используют одни и те же основные величины и одни и те же определяющие соотношения. Такими системами, например, являются системы СГС и СИ, в которых для механических величин основными выбраны масса, длина и время. Эти системы отличаются только размером основных механических единиц.

Если с изменением основной единицы в n раз производная единиц и изменяется в n P раз, то говорят, что данная производная единица обладает размерностью р относительно основной единицы .

Простейший пример: размерность площади или объема для тех систем единиц, где основной является единица длины. Размерность площади равна двум, размерность объема - трем, т. к.

В более сложных случаях, если единица некоторой величины А имеет размерность р , q и r относительно единиц длины, массы и времени, то формула размерности записывается в виде:

где символы L , М и Т представляют собой обобщенные обозначения единиц длины, массы и силы без конкретного указания размера единиц. Это означает, что если каждую из основных единиц увеличить в 10 раз, то производная единица увеличивается в10 pqr раз.

Может оказаться, что размер производной единицы не зависит ни от одной из основных единиц. В этом случае говорят, что производная единица безразмерна или обладает нулевой размерностью. При любом выборе основных единиц формула размерности представляет собой одночлен, составленный из символов основных единиц, причем эти степени могут быть положительными, отрицательными, целыми или дробными .

При образовании формул размерности пользоваться следующими теоремами:

Теорема 1 . Если числовое значение величины С равно произведению числовых значений величин А и В, то размерность С равна произведению размерностей А и В, т. е.

(2.2)

Теорема 2 . Если числовое значение величины С равно отношению числовых значений А и В, то размерность С равна отношению размерностей А и В, т. е.

Теорема 3 . Если числовое значение величины С равно степени n числового значения величины А, то размерность С равна степени n размерности А, т. е.

(2.4)

Доказательства этих теорем очень просты, что можно проиллюстрировать доказательством первой из них.

Пусть числовое значение С равно произведению числовых значений А и В. При измерении их единицами c 1 , a 1 и b 1 имеем

(2.5)

где C 1 = С/c 1 ; A 1 = А/a 1 ; в, = в/b 1 .

Соответственно при измерении техже величин единицами c 2 , a 2 и b 2

(2.6)

где C 2 = С/c 2 ; A 2 = А/a 2 ; B 2 = В/b 2 .

Из сопоставления С, А и В, выраженных разными единицами, получаем:

(2.7)

Если теперь

(2.8)

(2.9)

(2.10)

что и требовалось доказать.

Аналогично нетрудно доказать и другие две теоремы. Важно отметить, что размерность не зависит от наличия или отсутствия в построении производной единицы постоянных безразмерных множителей или безразмерных величин. Это означает, например, что размерность площади квадрата

(2.11)

и площади круга

(2.12)

будут одинаковыми, поскольку коэффициент не зависит от размера основных единиц.

В заключение рассмотрения понятий размерности рассмотрим, какие изменения в формулах размерности произойдут при разном выборе основных единиц. Очевидно, что в этом случае в формулах размерности будут стоять совсем другие выражения, поскольку связь производных единиц, например в механике, существенно изменится при замене основной единицы массы на основную единицу силы. Например, обозначая размерность основной единицы системы МКГСС-силы символом F получим размерность массы:

(2.13)

Размерность энергии в системе МКГСС будет

(2.14)

Из этого выражения сразу становится понятной привлекательность системы МКГСС для механических расчетов, поскольку энергия столь просто за висит от основных единиц - силы и длины.

В заключение раздела, посвященному обзору различных систем единиц, упомянем, что размерность производных единиц не зависит от определения размера производной единицы. Например, если выражать площади плоских фигур в квадратных метрах, когда единицей площади выбирается площадь квадрата со стороной равной единице длины, а затем выразить ту же площадь в «круглых» метрах, т. е. единицу площади определить как площадь круга с диаметром, равным единице длины, то размерность площади при таком переопределении не изменится и будет равна .

Как указывалось выше, в систему СИ включено семь основных, т. е. выбранных произвольно, едини ц физических величин. Эти единицы и их обозначения приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1.

Основные единицы международной системы СИ

Величина		Единицы СИ
Наименование	Размерность	Наименование единицы	Обозначение
			международное	русское
Длина	L	метр	m	м
Масса	M	килограмм	kg	кг
Время	T	секунда	S	с
Сила электрического тока	I	Ампер	A	А
Термодинамическая температура	Θ	Кельвин	K	К
Количество вещества	N	моль	mol	моль
Сила света	J	кандела	cd	кд

Основным единицам системы СИ были даны соответствующие определения. Рассмотрим более подробно каждую из этих единиц с пояснениями так называемой реализации, т. е. основных принципов независимого их воспроизведения в международных эталонах.